É muito importante, antes de qualquer coisa, verificar se seus plugins e temas possuem compatibilidades com a versão a ser atualizada.
É extremamente recomendado que você faça um Backup de seu banco de dados e de seus arquivos do WordPress antes da atualização.

Para você verificar a versão atual de seu WordPress, acesse o arquivo wp-includes/version.php e procure pelo valor que está definido para "$wp_version ="

1. A primeira coisa a ser feita é acessar o painel administrativo de seu WordPress:

2. Depois de fazer Login em seu painel administrativo, caso você esteja com seu WordPress desatualizado, receberá uma mensagem na parte superior do painel administrativo, informando a nova versão disponível e o link ao lado para seguir a atualização.

3. Clique no link Please update now (Atualizar agora)

4. Você será redirecionado para a página de atualização, logo em seguida clique em Update Now ou Atualizar agora

5. Seu WordPress irá fazer um carregamento e atualizar, logo após irá atualizar e retornar para a página inicial da nova versão, informando as novidades.

Pronto, seu WordPress está atualizado.